Šį įrašą paskatino viena naujametinė diskusija. Net ir ganėtinai racionalūs žmonės kartais naudoja visiškai iracionalius argumentus. Dar blogiau, net tą jiems parodžius, jie savo argumentų neišsižada. Šio įrašo esencija ne tiek jo dėstomuose tikimybių teorijos pagrinduose, kiek diskusijos dinamikos įžvalgose.
Argumentas, jog "balsuoti nėra prasmės nes, mūsų konkretus balsas rinkimų baigties nekeičia", naudojamas dažniau, nei galite pamanyti (aš pats, visai neseniai, sunkiai galėjau įsivaizduoti, kažką nuoširdžiai tikint tokio argumento verte - pamaniau dabar galėsiu tiesiog referensinti šį įrašą). Granted, balsavimas gali būti beprasmis užsiėmimas (arba gali toks nebūti) - priklausomai nuo to, kaip įvertinsime jo atnešamą [mums naudą] (ar jo nebuvimą), bei kiek jie mums kainuoja - tačiau nebalsuoti todėl, jog "mūsų asmeninis balsas nieko nekeičia" yra iracionalu.
Bandysiu tai paaiškinti labai nuodugniai ir aiškiai - atleiskite už ilgą įrašą - primygtinai rekomenduoju perskaityti jį visą iki galo, net jei kai kurios jo vietos pasirodys jums visai elementarios.
Kartu parodysiu, jog mano argumentas neturi nieko bendro su prisikabinėjimu prie smulkmenų, i.e. tokio teiginio autorius daro fundamentalią loginę klaidą.
Pradėsiu, aptardamas antrinius teiginius: (a) šis mano įrašas nėra politinis (psichologinis, etc.), jis grynai loginis (matematinis), parodantis intuityvių argumentų pavojų; (b) mano argumentas nėra nitpicking pastime - nėra pagrįstas prisikabinėjimu prie teiginio formuluoties.
Kadangi (a) didesnių paaiškinimų nereikalauja, iš karto pereikime prie (b). Hipotetinis dialogas turėtų aiškiausiai iliustruoti mano mintį:
Petras: "Hadrian, nedalyvauk rinkimuose, nes tavo balsas vistiek jų rezultatų nepakeis"
Hadrian: "Petrai, tu siūlai priimti sprendimą, vadovaujantis klaidinga prielaida"
Petras: "Hadrian, nesikabinėk prie žodžių, manau supratai, ką turėjau galvoj"
Hadrian: "Maniau, kad supratau. Jei kas paaiškink, nes mano požiūriu kvieti mane elgtis iracionaliai"
Petras: "Hadrian, aš vieną kartą su tavim sutikau - nebyliai, ką tik sutikau antrą kartą. Aišku, balsuojant yra maža tikimybė, jog tavo balsas gali apspręsti rinkimų baigtį, su tuo nesiginčiju. Tu, kaip tau įprasta, prie manęs prisikabinėji."
Hadrian: "Petrai, tavo teiginys fundamentaliai klaidingas; jis nėra vien techniškai klaidingas, jis yra iš esmės klaidingas; aš supratau, kad tu sutinki, jog tavo teiginys yra techniškai neteisingas, tačiau man liko neaišku, ar tu sutinki, kad tavo fundamentaliai klaidingas?"
Variantas 1:
Petras : "matau mūsų diskusija niekur neveda, nematau tikslo jos tęsti; manau nesi pajėgus to suprasti, dėl savo emocinių problemų (stipraus noro visada būti teisiu, parodyti savo viršenybę, etc.) - sėkmės tau ir ačiū už diskusiją!"
Hadrian: "palauk... tu net neleidai man užbaigti savo argumento... never mind :("
Variantas 2:
Petras: "Hmm... ok, turiu prielaidų manyti, jog esi racionalus bičas, todėl laikinai suspendinsiu savo įsitikinimą tuo, kas man akivaizdu (jog tu tik nitpickini), ir leisiu tau pratęsti savo argumentą... tik tegul tai neužtrunka dešimt valandų..."
Hadrian: "fair enough; pirma, leisk greit pademonstruoti, jog teisingai suprantu tavo esamą poziciją"
Petras: "ok, whatever, bet paskubėk"
Hadrian: "tu turėjai galvoj, jog yra mikroskopiškai maži šansai, jog mano asmeninis balsas nulems rinkimų baigtį; laisvai išsireiškei, jog "nėra šansų"; manai, kad aš prisikabinėju, prie tavo laisvo išsireiškimo; sutinki, jog "nėra šansų" yra [techniškai] klaidingas teiginys; tačiau manai, jog "hadrian, nebalsuok, nes šansai, kad tavo balsas kažką nulems, yra mikroskopiškai maži" yra teisingas (i.e. racionalus pagrindas sprendimui priimti)"
Petras: "Exactly! Pagaliau supratai? Supratai, kad veltui kabinėjaisi?"
Hadrian: "nea... palauk, aš tik pademonstravau, jog suprantu tavo poziciją... kuri yra klaidinga... ką ir bandau tau pasakyti... jei tavo pozicija būtų teisinga, aš sutikčiau, jog aš nitpickinu... tą ir turėjau galvoj - deklaruodamas sutikimą su mano išsakyta pozicija, tu sutikai tik dėl savo teiginio esant techniškai klaidingu - likai nesupratęs, jog jis fundamentaliai klaidingas"
Petras: "nieko nebesuprantu... ką turi galvoj?.. oh, tai dabar nusprendei kabinėtis prie "mikroskopiškai mažų šansų"?"
Hadrian: "nea"
Petras: "ar žinai, jog šansas, kad tavo balsas nulems rinkimų baigtį yra kažkur 1:100mil? nori pasakyti, kad tavo sprendimas atlikti veiksmą nepriklauso nuo to veiksmo [siektino] rezultato tikimybės?.."
Hadrian: "uh oh... 1:100 mil yra way off estimate, tačiau besides the point, atsakant į tavo antrą klausimą - taip, mano sprendimas atlikti veiksmą priklauso nuo sėkmės veiksmo tikimybės..."
Petras: "didelė" tikimybė - veiksmą atlieki, "maža" tikimybė - ne... tereikia reasonably susitarti, kas yra "maža" ir kas "didelė", taip?"
Hadrian: "ne ir todėl ne :)"
Petras: "nori pasakyti, kad atlieki veiksmą, kai tikimybė "maža", ir neatlieki - kai "didelė"???"
Hadrian: "aišku, ne!" (wtf?)
Petras: "tu prieštarauji pats sau"
Hadrian: "false dichotomy?"
Petras: "oh... ummm... ok, tada paaiškink, kokiu algoritmu grindžiamas tavo sprendimas?.."
Sprendimai mažų tikimybių akivaizdoje
Mūsų intuicija dažnai mus apgauna. Tai, kas atrodo, "akivaizdu", dažnai yra [objektyviai] klaidinga. Atskiro įrašo vertas klausimas kodėl taip yra (nes galima nemažai iš to pasimokyti), tačiau tikiu, būtent tai ir sukėlė Petro pasimetimą mūsų dialoge. Pabandykite pažiūrėti, kaip yra iš tiesų.
Sakykime, aš siūlau jums pirkti loterijos bilietą. Jūs apsisprendžiate jo nepirkti, nes tikimybė laimėti labai maža ("vistiek nelaimėsiu"). Ar jūsų poelgis racionalus?
Pirma, net ir laikant, jog loterijoje dalyvauja milijonas bilietų, iš kurių tėra vienas laimingas, neįmanoma vienareikšmiškai atsakyti į šį klausimą. Taip, laimėti tokioje loterijoje mažai tikėtina, todėl Petras argumentuotų joje dalyvauti yra iracionalu, tačiau kodėl tai klaidingas argumentas?
Mes nežinome, kiek kainuoja loterijos bilietas, bei koks yra prizinis fondas. Be šios informacijos bet koks atsakymas į mūsų klausimą neįmanomas (o teiginys, jog žinome racionalų atsakymą - vienareikšmiškai klaidingas).
Disclaimer: realiam gyvenime loterijos prizinį fondą sudaro surinkti už bilietus pinigai minus organizatorių dalis; todėl realiame gyvenime, turint vieną laimintį bilietą ir visiems bilietams kainuojant vienodai (ir turint vienodą tikimybę laimėti) - mūsų dalyvavimas tokioje loterijoje de facto būtų iracionalus. Mūsų atveju nagrinėjame bendrą atvejį (kai bilietų kaina gali skirtis, organizatoriai formuoja prizinį fondą nepriklausomai nuo surinktų lėšų, etc.)
Teisingas sprendimas priimamas lyginant bilieto kainą (B) su tikimamasi laimėti verte (expected value, arba EV); EV = P * t, kur P yra mūsų laukiantis prizas, o t - tikimybė tą prizą laimėti. Jei bilieto kaina (B) mažesnė už EV, mes tokį bilietą perkame, jei didesnė - ne. Taip apibrėžtas mūsų veiksmo pasirinkimo algoritmas gali būti laikomas racionaliu pasirinkimu.
Pvz1.: jei aukso puodas (P) yra 1 mil, loterijos bilietas (B) kainuoja 2, o tikimybė laimėti (t) yra 1:100000, EV = P * t = 10; kadangi EV > B (10 > 2), mes perkame tokį loterijos bilietą (ar, pageidautina, neribotą skaičių tokių bilietų);
Pvz2.: tarkime, aukso puodas yra 1mlrd, loterijos bilietas kainuoja 100, o tikimybė laimėti 1:1mln; intuityviai atrodytų, jog pvz2 yra ne toks palankus, kaip pvz1 (bilietas kainuoja net 100 - šansų laimėti dešimt kart mažiau, nei buvo pvz1 - kažkam tiek nepalankus, jog jis atsisakytų tokio loterijos bilieto), tačiau kaip yra iš tiesų:
EV = 1mlrd / 1 mln = 1000; de facto tai reiškia, kad tokio loterijos bilieto pirkimas (savo verte) prilygsta 900 gavimui (EV - B); tuo pat metu, pvz1 bilieto pirkimas prilygsta 8 gavimui - i.e. pvz2 loterijos bilieto pirkimas yra nepalyginamai vertingesnė [verslo] galimybė
Pvz3.: šioje loterijoje aukso puodas vos 100000, tikimybė laimėti yra 1:1mln, tačiau mums toks bilietas siūlomas nemokamai; be skaičiavimų aišku, jog būtų iracionalu atsisakyti tokio bilieto (EV > 0, B = 0, EV > B). Atsisakydami tokio bilieto, kadangi "vis tiek nelaimėsim" arba nes "laimėti beveik nėra šansų" - būtų iracionali motyvacija - plain and simple.
Prieš atlikdami veiksmą, mes nesąmoningai "įsivaizduojame" jo pasekmes. Mažų tikimybių atveju, toks "įsivaizdavimas" mums suteikia klaidingą iliuziją (neva "vis tiek nieko nepakeisim", why bother).
Iracionalumas kainuoja
Azartiniams lošėjams gerai žinoma liūdnai pagarsėjusi martingale sistema. Jos esmė yra pralošus dvigubinti savo statymą. Laimėję, mes vėl grįžtame prie savo pirminio statymo (ir kartojame viską iš naujo), kaskart pralaimėję - tiesiog dvigubiname. Sistemos esmė yra ta, jog pralaimėti "nėra šansų"... ops, turiu galvoj "beveik nėra šansų". Tai lengviau bus suprasti iš pvz:
sakykim, aš žaidžiu ruletę, ir mano pirminis statymas yra 1 pinigas; sakykim, aš visada spėju, jog iškris raudonas skaičius; nepriklausomai nuo mano sėkmės, aš visada laimiu - nes [pagaliau] iškritus raudonam skaičiui, mano laimėjimas atperka visus mano iki šiol patirtus pralaimėjimus su 1 pinigo kaupu:
statau 1 - juodas - mano laimėjimai: -1
statau 2 - juodas - mano laimėjimai: -3
statau 4 - juodas - mano laimėjimai: -7
statau 8 - juodas - mano laimėjimai: -15
statau 16 - juodas - mano laimėjimai: -31
statau 32 - raudonas! - mano laimėjimai: +1
statau 1... etc.
Net jei išskrenta 10 juodų iš eilės (ir aš pralaimiu kiekvieną kartą), galiausiai iškritęs raudonas skaičius atperka mano visus pralošimus su 1 pinigo kaupu. Akivaizdu, jei aš galiu [nepriklausomai nuo savo sėkmės] laimėti po 1 pinigą (kiekvieno sistemos ciklo metu), ilgainiui aš laimėsiu visus kazino pinigus, pakartojęs pakankamą skaičių tokių ciklų :)
Kad taip neatsitiktų (casino is not a sucker :), kazino riboja mano statymų dydį - pasekoje, aš galiu tik ribotą skaičių kartų dvigubinti savo statymus. Tokiu būdu, pvz jei kazino leidžia man dvigubinti savo statymą 10 kartų, iškritus 10 juodų skaičių iš eilės aš pralaimėsiu - visais kitais atvejais, aš stabiliai laimėsiu po 1 pinigą kiekvieno ciklo metu. Tačiau koks šansas, kad iškris dešimt juodų skaičių iš eilės? Labai menkas, tiesa - todėl ši sistema (net su kazino apribojimais) "praktiškai visada laimi", taip?..
Dėl įdomumo, pradėkime įvertindami tikimybę, jog iškris 10 juodų skaičių iš eilės (paprastumo dėlei, laikykime, kad yra 50/50 tikimybė, kad ruletė parodys raudoną ar juodą skaičių): 10 juodų skaičių iš eilės tikimybė yra t = 1:2^10 = 1:1024 (~0.1%)
Kitais žodžiais tariant, žaisdami tokiam kazino ir naudodami šią sistemą, jūs turėtumėte 99.9% tikimybę laimėti. Turėkite galvoj, kad visi mano pateikti paskaičiavimai teisingi, nebandau jūsų jais kažkaip apgauti. Jei mūsų pradinis statymas bus 1000 Lt, atėję į kazino su 99.9% tikimybe laimėsime 1000Lt (tada galime tiesiog išeiti, apsiribodami vieninteliu ciklu) -- Petro požiūriu labai net patrauklus pasiūlymas.
Deja, bet kuris patyręs azartinis lošėjas pasakys jums, jog tokia sistema yra viena naudingiausių kazino - ne jums. Petras nėra racionalus lošėjas. Martingale sistema teatrodo patraukli mūsų intuicijai, o racionalus jos EV įvertinimas greitai išsklaido visą euforiją.
Argumentas, jog "balsuoti nėra prasmės nes, mūsų konkretus balsas rinkimų baigties nekeičia", naudojamas dažniau, nei galite pamanyti (aš pats, visai neseniai, sunkiai galėjau įsivaizduoti, kažką nuoširdžiai tikint tokio argumento verte - pamaniau dabar galėsiu tiesiog referensinti šį įrašą). Granted, balsavimas gali būti beprasmis užsiėmimas (arba gali toks nebūti) - priklausomai nuo to, kaip įvertinsime jo atnešamą [mums naudą] (ar jo nebuvimą), bei kiek jie mums kainuoja - tačiau nebalsuoti todėl, jog "mūsų asmeninis balsas nieko nekeičia" yra iracionalu.
Bandysiu tai paaiškinti labai nuodugniai ir aiškiai - atleiskite už ilgą įrašą - primygtinai rekomenduoju perskaityti jį visą iki galo, net jei kai kurios jo vietos pasirodys jums visai elementarios.
Kartu parodysiu, jog mano argumentas neturi nieko bendro su prisikabinėjimu prie smulkmenų, i.e. tokio teiginio autorius daro fundamentalią loginę klaidą.
Pradėsiu, aptardamas antrinius teiginius: (a) šis mano įrašas nėra politinis (psichologinis, etc.), jis grynai loginis (matematinis), parodantis intuityvių argumentų pavojų; (b) mano argumentas nėra nitpicking pastime - nėra pagrįstas prisikabinėjimu prie teiginio formuluoties.
Kadangi (a) didesnių paaiškinimų nereikalauja, iš karto pereikime prie (b). Hipotetinis dialogas turėtų aiškiausiai iliustruoti mano mintį:
Petras: "Hadrian, nedalyvauk rinkimuose, nes tavo balsas vistiek jų rezultatų nepakeis"
Hadrian: "Petrai, tu siūlai priimti sprendimą, vadovaujantis klaidinga prielaida"
Petras: "Hadrian, nesikabinėk prie žodžių, manau supratai, ką turėjau galvoj"
Hadrian: "Maniau, kad supratau. Jei kas paaiškink, nes mano požiūriu kvieti mane elgtis iracionaliai"
Petras: "Hadrian, aš vieną kartą su tavim sutikau - nebyliai, ką tik sutikau antrą kartą. Aišku, balsuojant yra maža tikimybė, jog tavo balsas gali apspręsti rinkimų baigtį, su tuo nesiginčiju. Tu, kaip tau įprasta, prie manęs prisikabinėji."
Hadrian: "Petrai, tavo teiginys fundamentaliai klaidingas; jis nėra vien techniškai klaidingas, jis yra iš esmės klaidingas; aš supratau, kad tu sutinki, jog tavo teiginys yra techniškai neteisingas, tačiau man liko neaišku, ar tu sutinki, kad tavo fundamentaliai klaidingas?"
Variantas 1:
Petras : "matau mūsų diskusija niekur neveda, nematau tikslo jos tęsti; manau nesi pajėgus to suprasti, dėl savo emocinių problemų (stipraus noro visada būti teisiu, parodyti savo viršenybę, etc.) - sėkmės tau ir ačiū už diskusiją!"
Hadrian: "palauk... tu net neleidai man užbaigti savo argumento... never mind :("
Variantas 2:
Petras: "Hmm... ok, turiu prielaidų manyti, jog esi racionalus bičas, todėl laikinai suspendinsiu savo įsitikinimą tuo, kas man akivaizdu (jog tu tik nitpickini), ir leisiu tau pratęsti savo argumentą... tik tegul tai neužtrunka dešimt valandų..."
Hadrian: "fair enough; pirma, leisk greit pademonstruoti, jog teisingai suprantu tavo esamą poziciją"
Petras: "ok, whatever, bet paskubėk"
Hadrian: "tu turėjai galvoj, jog yra mikroskopiškai maži šansai, jog mano asmeninis balsas nulems rinkimų baigtį; laisvai išsireiškei, jog "nėra šansų"; manai, kad aš prisikabinėju, prie tavo laisvo išsireiškimo; sutinki, jog "nėra šansų" yra [techniškai] klaidingas teiginys; tačiau manai, jog "hadrian, nebalsuok, nes šansai, kad tavo balsas kažką nulems, yra mikroskopiškai maži" yra teisingas (i.e. racionalus pagrindas sprendimui priimti)"
Petras: "Exactly! Pagaliau supratai? Supratai, kad veltui kabinėjaisi?"
Hadrian: "nea... palauk, aš tik pademonstravau, jog suprantu tavo poziciją... kuri yra klaidinga... ką ir bandau tau pasakyti... jei tavo pozicija būtų teisinga, aš sutikčiau, jog aš nitpickinu... tą ir turėjau galvoj - deklaruodamas sutikimą su mano išsakyta pozicija, tu sutikai tik dėl savo teiginio esant techniškai klaidingu - likai nesupratęs, jog jis fundamentaliai klaidingas"
Petras: "nieko nebesuprantu... ką turi galvoj?.. oh, tai dabar nusprendei kabinėtis prie "mikroskopiškai mažų šansų"?"
Hadrian: "nea"
Petras: "ar žinai, jog šansas, kad tavo balsas nulems rinkimų baigtį yra kažkur 1:100mil? nori pasakyti, kad tavo sprendimas atlikti veiksmą nepriklauso nuo to veiksmo [siektino] rezultato tikimybės?.."
Hadrian: "uh oh... 1:100 mil yra way off estimate, tačiau besides the point, atsakant į tavo antrą klausimą - taip, mano sprendimas atlikti veiksmą priklauso nuo sėkmės veiksmo tikimybės..."
Petras: "didelė" tikimybė - veiksmą atlieki, "maža" tikimybė - ne... tereikia reasonably susitarti, kas yra "maža" ir kas "didelė", taip?"
Hadrian: "ne ir todėl ne :)"
Petras: "nori pasakyti, kad atlieki veiksmą, kai tikimybė "maža", ir neatlieki - kai "didelė"???"
Hadrian: "aišku, ne!" (wtf?)
Petras: "tu prieštarauji pats sau"
Hadrian: "false dichotomy?"
Petras: "oh... ummm... ok, tada paaiškink, kokiu algoritmu grindžiamas tavo sprendimas?.."
Sprendimai mažų tikimybių akivaizdoje
Mūsų intuicija dažnai mus apgauna. Tai, kas atrodo, "akivaizdu", dažnai yra [objektyviai] klaidinga. Atskiro įrašo vertas klausimas kodėl taip yra (nes galima nemažai iš to pasimokyti), tačiau tikiu, būtent tai ir sukėlė Petro pasimetimą mūsų dialoge. Pabandykite pažiūrėti, kaip yra iš tiesų.
Sakykime, aš siūlau jums pirkti loterijos bilietą. Jūs apsisprendžiate jo nepirkti, nes tikimybė laimėti labai maža ("vistiek nelaimėsiu"). Ar jūsų poelgis racionalus?
Pirma, net ir laikant, jog loterijoje dalyvauja milijonas bilietų, iš kurių tėra vienas laimingas, neįmanoma vienareikšmiškai atsakyti į šį klausimą. Taip, laimėti tokioje loterijoje mažai tikėtina, todėl Petras argumentuotų joje dalyvauti yra iracionalu, tačiau kodėl tai klaidingas argumentas?
Mes nežinome, kiek kainuoja loterijos bilietas, bei koks yra prizinis fondas. Be šios informacijos bet koks atsakymas į mūsų klausimą neįmanomas (o teiginys, jog žinome racionalų atsakymą - vienareikšmiškai klaidingas).
Disclaimer: realiam gyvenime loterijos prizinį fondą sudaro surinkti už bilietus pinigai minus organizatorių dalis; todėl realiame gyvenime, turint vieną laimintį bilietą ir visiems bilietams kainuojant vienodai (ir turint vienodą tikimybę laimėti) - mūsų dalyvavimas tokioje loterijoje de facto būtų iracionalus. Mūsų atveju nagrinėjame bendrą atvejį (kai bilietų kaina gali skirtis, organizatoriai formuoja prizinį fondą nepriklausomai nuo surinktų lėšų, etc.)
Teisingas sprendimas priimamas lyginant bilieto kainą (B) su tikimamasi laimėti verte (expected value, arba EV); EV = P * t, kur P yra mūsų laukiantis prizas, o t - tikimybė tą prizą laimėti. Jei bilieto kaina (B) mažesnė už EV, mes tokį bilietą perkame, jei didesnė - ne. Taip apibrėžtas mūsų veiksmo pasirinkimo algoritmas gali būti laikomas racionaliu pasirinkimu.
Pvz1.: jei aukso puodas (P) yra 1 mil, loterijos bilietas (B) kainuoja 2, o tikimybė laimėti (t) yra 1:100000, EV = P * t = 10; kadangi EV > B (10 > 2), mes perkame tokį loterijos bilietą (ar, pageidautina, neribotą skaičių tokių bilietų);
Pvz2.: tarkime, aukso puodas yra 1mlrd, loterijos bilietas kainuoja 100, o tikimybė laimėti 1:1mln; intuityviai atrodytų, jog pvz2 yra ne toks palankus, kaip pvz1 (bilietas kainuoja net 100 - šansų laimėti dešimt kart mažiau, nei buvo pvz1 - kažkam tiek nepalankus, jog jis atsisakytų tokio loterijos bilieto), tačiau kaip yra iš tiesų:
EV = 1mlrd / 1 mln = 1000; de facto tai reiškia, kad tokio loterijos bilieto pirkimas (savo verte) prilygsta 900 gavimui (EV - B); tuo pat metu, pvz1 bilieto pirkimas prilygsta 8 gavimui - i.e. pvz2 loterijos bilieto pirkimas yra nepalyginamai vertingesnė [verslo] galimybė
Pvz3.: šioje loterijoje aukso puodas vos 100000, tikimybė laimėti yra 1:1mln, tačiau mums toks bilietas siūlomas nemokamai; be skaičiavimų aišku, jog būtų iracionalu atsisakyti tokio bilieto (EV > 0, B = 0, EV > B). Atsisakydami tokio bilieto, kadangi "vis tiek nelaimėsim" arba nes "laimėti beveik nėra šansų" - būtų iracionali motyvacija - plain and simple.
Prieš atlikdami veiksmą, mes nesąmoningai "įsivaizduojame" jo pasekmes. Mažų tikimybių atveju, toks "įsivaizdavimas" mums suteikia klaidingą iliuziją (neva "vis tiek nieko nepakeisim", why bother).
Iracionalumas kainuoja
Azartiniams lošėjams gerai žinoma liūdnai pagarsėjusi martingale sistema. Jos esmė yra pralošus dvigubinti savo statymą. Laimėję, mes vėl grįžtame prie savo pirminio statymo (ir kartojame viską iš naujo), kaskart pralaimėję - tiesiog dvigubiname. Sistemos esmė yra ta, jog pralaimėti "nėra šansų"... ops, turiu galvoj "beveik nėra šansų". Tai lengviau bus suprasti iš pvz:
sakykim, aš žaidžiu ruletę, ir mano pirminis statymas yra 1 pinigas; sakykim, aš visada spėju, jog iškris raudonas skaičius; nepriklausomai nuo mano sėkmės, aš visada laimiu - nes [pagaliau] iškritus raudonam skaičiui, mano laimėjimas atperka visus mano iki šiol patirtus pralaimėjimus su 1 pinigo kaupu:
statau 1 - juodas - mano laimėjimai: -1
statau 2 - juodas - mano laimėjimai: -3
statau 4 - juodas - mano laimėjimai: -7
statau 8 - juodas - mano laimėjimai: -15
statau 16 - juodas - mano laimėjimai: -31
statau 32 - raudonas! - mano laimėjimai: +1
statau 1... etc.
Net jei išskrenta 10 juodų iš eilės (ir aš pralaimiu kiekvieną kartą), galiausiai iškritęs raudonas skaičius atperka mano visus pralošimus su 1 pinigo kaupu. Akivaizdu, jei aš galiu [nepriklausomai nuo savo sėkmės] laimėti po 1 pinigą (kiekvieno sistemos ciklo metu), ilgainiui aš laimėsiu visus kazino pinigus, pakartojęs pakankamą skaičių tokių ciklų :)
Kad taip neatsitiktų (casino is not a sucker :), kazino riboja mano statymų dydį - pasekoje, aš galiu tik ribotą skaičių kartų dvigubinti savo statymus. Tokiu būdu, pvz jei kazino leidžia man dvigubinti savo statymą 10 kartų, iškritus 10 juodų skaičių iš eilės aš pralaimėsiu - visais kitais atvejais, aš stabiliai laimėsiu po 1 pinigą kiekvieno ciklo metu. Tačiau koks šansas, kad iškris dešimt juodų skaičių iš eilės? Labai menkas, tiesa - todėl ši sistema (net su kazino apribojimais) "praktiškai visada laimi", taip?..
Dėl įdomumo, pradėkime įvertindami tikimybę, jog iškris 10 juodų skaičių iš eilės (paprastumo dėlei, laikykime, kad yra 50/50 tikimybė, kad ruletė parodys raudoną ar juodą skaičių): 10 juodų skaičių iš eilės tikimybė yra t = 1:2^10 = 1:1024 (~0.1%)
Kitais žodžiais tariant, žaisdami tokiam kazino ir naudodami šią sistemą, jūs turėtumėte 99.9% tikimybę laimėti. Turėkite galvoj, kad visi mano pateikti paskaičiavimai teisingi, nebandau jūsų jais kažkaip apgauti. Jei mūsų pradinis statymas bus 1000 Lt, atėję į kazino su 99.9% tikimybe laimėsime 1000Lt (tada galime tiesiog išeiti, apsiribodami vieninteliu ciklu) -- Petro požiūriu labai net patrauklus pasiūlymas.
Deja, bet kuris patyręs azartinis lošėjas pasakys jums, jog tokia sistema yra viena naudingiausių kazino - ne jums. Petras nėra racionalus lošėjas. Martingale sistema teatrodo patraukli mūsų intuicijai, o racionalus jos EV įvertinimas greitai išsklaido visą euforiją.
15 komentarai (-ų):
1. Sakant, kad balsuoti neapsimoka ir turima galvoje kad nėra tokio jau didelio skirtumo man asmeniškai kas laimės rinkimus, kad tai pateisintų balsavimą, esant tokiai mažai tikimybei pakeisti rezultatus. Ta prasme, tokia potekstė. Niekas nesakytų (hiperbolė jeigu ką) kad balsuoti ne verta, jei kas kažkelintas rinkėjas laimėtų amžinąjį gyvenimą ar milijoną baksų.
2. Lošimai - man regis esmė yra matematinė viltis. Ji nepriklauso nuo to, ar pirma statysi 1 dolerį, po to 2, ar atbulai. Jei lošti neapsimoka, tai neapsimoka...
VYTS:
1. jei kažkas sako (a) "balsuoti neapsimoka" - tada jis atlieka teigimą be argumentacijos - teisingą arba klaidingą; jeigu sako, (b) kad "balsuoti neapsimoka, nes nėra skirtumo, kas laimės rinkimus" - tada tai atitinka tavo aprašytą atvejį; jei sako, (c) kad "balsuoti neapsimoka, nes tavo balsas neįtakoja rinkimų baigties (i.e. kas bus išrinktas)" - tada turime mano aprašytą atvejį. (a), (b) ir (c) yra labai skirtingi teiginiai
2. Margintale sistemos patrauklumas blogam lošėjui yra tai, jog jis gali pralošti visą eilę statymų, tačiau laimėjęs vienintelį iš karto tapti bendru laimėtoju. Būtent todėl kiekvienas naujas statymas turi būti didesnis už visą iki šiol praloštą sumą.
Viena, kadangi ciklą baigiame (nustojame lošti) kai pagaliau laimime, iš anksto nežinome, kiek kartų teks lošti.
Antra, jei pradėsime nuo didelio statymo ir vėliau kas kart jį mažinsime - pagaliau laimėję, vistiek busime bendram minuse, todėl niekam tokia "sistema" nepasirodys nei kiek patraukli.
Mano pvz esmė nebuvo azartinių lošimų pamoka - norėjau pademonstruoti, kad sėkmės tikimybė, pati savaime - labai didelė ar labai maža - nėra racionali priežastis veiksmą atlikti / neatlikti. Todėl teiginiai "nedariau to veiksmo, nes sėkmės šansas labai mažas" / "dariau tą veiksmą, nes sėkmės šansas buvo labai aukštas" yra fundamentaliai klaidingi.
Šlykštu žiūrėti kaip žmogus varginasi pisti kitiems protą apie racionalumą :) viskas galiausiai susiveda į iracionalumą dėl regreso problemos. Racionalumas pats save dekonstruoja reikalaudamas vis tolesnio pagrindimo, nes kitokiu atveju remsis visokiomis aksiomomis, savaime suprantamybėmis ir tt.
Neblogas įrašas, tik turiu du neesminius pastebėjimus:
1) "pvz2 loterijos bilieto pirkimas yra nepalyginamai vertingesnė [verslo] galimybė"
Šitą galima teikti tik bendruoju (teoriniu) atveju, nors realiame gyvenime pirmoji loterija būtų neabejotinai geresnis pasirinkimas (nebent būtum sukaupęs milžinišką kapitalą). Galim paimti paprastą pavyzdį - pamatęs, kad iš tokios loterijos galima pasipelnyti už visas savo santaupas (100k) nusiperki loterijos bilietų. Pirmosios loterijos atveju nusiperki 50k bilietų ir turėdamas pusę visų bilietų turi 1/2 tikimybę laimėti milijoną. Antrosios loterijos atveju gali nusipirkti tik 1000 bilietų ir turi 1/1000 tikimybę laimėti milijardą. Nors antruoju atveju tikėtinas laimėjimas ir didesnis (1M prieš 0,5M), absoliuti dauguma žmonių rinktųsi pirmąją loteriją.
2) Martingale sistema puikiai veiktų, tik tam reikia turėti labai daug pinigų. Ne milijoną ar milijardą, bet neribotą sumą pinigų, kad visada galėtum atlošti savo pinigus. Kadangi realiai tokios sąlygos neegzistuoja, ši sistema visuomet veda į bankrotą (tik kuo daugiau pinigų turi, tuo ilgiau gali "tempti", bet finišas visuomet toks pat :)
Beje, keista, kad kazino riboja statymų dydį - leisdami žaisti toliau jie nieko neprarastų.. :)
Martynai, ačiū. Su tavo pirmąja pastaba pilnai sutinku (kitam threade į tai mano dėmesį jau kažkas atkreipė). Turėjau paminėti, jog racionalus sprendimas priklauso dar ir nuo statymo / mūsų net worth santykio, bei to, kiek tokių loterijos bilietų (šioje ar kitose loterijose) turime galimybę pirkti. Stengiausi pailiustruoti, jog sprendimas, paremtas vien įvykio sėkmės tikimybe, nėra racionalus - ne iki galo pasirūpinau tikslumu :(
Kad martingale sistema puikiai veikia nesant statymo ribojimams bei [abiem pusėm] turint neribotą kapitalą - su tuo irgi pilnai sutinku, tą bandžiau ir paaiškinti. Realybėje "ši sistema visuomet veda į bankrotą", jei lošėjas šią sistemą naudoja neribotą laiką; mano pasiūlymas buvo pasinaudoti sistema vieną vienintelį kartą -- su tikslu laimėti lygiai vieną pradinį statymą (1000 Lt), ir daugiau niekada nebelošti -- tokio "verslo plano" sėkmės tikimybė yra ~99.9% (laikant, jog galėsime savo statymus dvigubinti lygiai 10 kartų). Pavyzdžio moralė: net 99.9% sėkmės tikimybė, pati savaime, nėra racionalus pagrindas tokį veiksmą atlikti :)
Kazino [visada] turi statymo dydžio ribojimą, nes (a) lošėjui turint didesnį bankroll nei pats kazino - jie negalėtų padengti pralaimėto statymo; kartu (b) tai daroma rizikos valdymo tikslu (mažinant kazino pelningumo fluktuacijas - statistinį variance)
"EV = 1mlrd / 1 mln = 1000; de facto tai reiškia, kad tokio loterijos bilieto pirkimas (savo verte) prilygsta 900 gavimui"
Jei galėtum gauti nemokamai 900Lt arba tokį loterijos bilietą, kaip suprantu imtum loterijos bilietą? Jei taip, tai tiesiog esi žiauriai risk averse (kas IMO yra iracionalu), kas ir yra pagrindinis sprendžiantysis faktorius mažų tikimybių atveju esant tik vienai galimybei rinktis (o ne EV, kaip kad bandai įrodyti).
Kas liečia rinkimus - jei jau netingi skaičiuoti, gali suskaičiuoti kokia tikimybė, kad vienas balsas nulems tau palankiai partijai 50%+1 vietą seime, įvertinus, kad balsuoji už partijas ir už asmenis (o ne padarys įtaką bet kokioms 2 partijoms surinkus bet kokį vienodą skaičių balsų). Tačiau net jei taip ir atsitiktų, nežinau kaip suskaičiuoti kiek šansų, kad pvz. premjeras ir prezidentas bus kitos partijos atstovai ir tau palankus sprendimas nebus priimtas. Žiūrėk tikėtiną asmeninį navarą (net jei jis milijonų eilės) padauginus iš visų tikimybių, EV bus labai arti 0. Bet net jei EV ir gausis patenkinamas (kuo aš abejoju), jei savo laisvalaikio porą h, sugaištų balsavimui, vertini bent jau 100lt, tikimybė, kad investicija pasiteisins, praktiškai lygi 0, taigi ją daryti racionalu tik tiems, kurių polinkis rizikai yra loonie lygio.
Visų pirma, normaliai balsavimas netrunka kelių valandų. Antra, jei žmogus dėl to kad balsavo pasijus geriau, tai kaštai gali būti artimi nuliui ar neigiami.
Ai dar trečia: dabar jokia partija neturi 50% balsų, o prezidentė išvis nepartinė, o kažkokie sprendimai vistiek priimami :)
(1) Giedriau, pats tavo pastebėjimas apie risk aversion yra labai teisingas, padariau klaidą jo nepaminėdamas;
(2) Ar aš pirkčiau aprašytą 100Lt kainuojantį loterijos bilietą ar veikiau imčiau 900L? - Paimčiau 900Lt. Tačiau jei pasiūlytum 100Lt (i.e. turėčiau arba sumokėti 100Lt ir dalyvauti aprašytoje loterijoje) arba tu man tiesiog duotum 100Lt -- rinkčiausi dalyvavimą loterijoje - ir mano situacijoje tai būtų daugiau nei racionalu (sutinku, tau galėtų būti racionaliau paimti dykais 100Lt);
(3) mano tikslas nebuvo nustatyti, racionalu ar ne dalyvauti rinkimuose - teparodžiau, jog argumentuoti savo nedalyvavimą juose atsižvelgiant vien į mažą tikimybę įtakoti rinkimų rezultatus, yra iracionalu;
(4) taipat, vertindami dalyvavimo rinkimuose EV, kaip teisingai pastebėjai, turėtume įvertinti sugaištą laiką - ir net tik laiką; turėtume įskaičiuoti mums kainuojantį ten nuvažiuoti kurą, automobilio susidėvėjimą, etc.
jei pameni, mūsų kitoj diskusijoj, bandžiau tau pasiūlyti įtraukti į "balsavimo kaštus" ir padidėjusią tikimybę žūti nelaimingo atsitikimo pasekoje... viskas priklauso nuo to, kiek smulkmeniški (tikslūs) norėsime būti modeliuodami šį įvykį;
(5) tuo pat metu, kaip teisingai pastebėjo VYTS, vertinant naudą, turėtų būti įskaičiuotas emocinis pasitenkinimas (nesakau, kad tokį aš jausčiau) - kuris, kažkurių žmonių, galėtų būti vertinamas 10Lt, 25Lt, ar net 100Lt (don't ask me);
(6) panašiai kaip su risk aversion, dalyvavimo rinkimuose kaštai (bei jų atnešama "nauda") nėra vienodi skirtingiems asmenims; pvz tu, kaip sakai, už 100Lt negaištum dviejų valandų - tačiau kitų žmonių atveju, jie savo laiko vertę laiko labai artima nuliui; tad tariant, jog jų dalyvavimo rinkimuose kaštai praktiškai lygūs nuliui, į jų balsavimą galima žiūrėti kaip į nemokamą loterijos bilietą - kurį JIEMS racionalu imti, nepriklausomai nuo to, koks mažas EV bebūtų (jei bielietas nemokamas)
(7) Bottom line: visi papildomai išsakyti argumentai nekeičia galutinės išvados - jie pakoreguoja mano pasiūlytą "racionalaus sprendimo algoritmą" ir tik dar kartą parodo, kodėl neturėtume argumentuoti savo sprendimo, vien atsižvelgdami į veiksmo sėkmės tikimybę
Tikiuosi, su tokiu mano apibendrinimu sutiksi.
Dar vienas praktinis pastebėjimas. Risk aversion faktorius tampa reikšmingu, tik jei statymo suma reliatyviai didelė lošėjui:
- jei už loterijos bilietą turime mokėti 1000Lt (ar 100Lt, kam tai dideli pinigai, etc.), net EV esant didesniam už bilieto kainą, gali būti racionalu tokio bilieto nepirkti - šiuo atveju laimėjimo tikimybės svarba (prieš kitus faktorius) išauga;
- jei bilieto kaina yra nereikšminga lošėjui (pvz 1Lt) - tikimybė mūsų racionalaus sprendimo įtakoti neturėtų; saugu ją apskritai ignoruoti, ir savo sprendimą priimti išimtinai lyginant EV su bilieto kaina.
Dalyvavimo rinkimuose kaina, daugumos rinkėjų atveju, santykinai maža (dažnam artima nuliui), todėl tikimybė įtakos sprendimui daryti neturėtų apskritai.
Kitais žodžiais tariant, šis pastebėjimas sustiprina apeliavimo į tikimybę, sprendžiant balsuoti ar ne, klaidingumą (i.e. ne tik klaidinga, atsižvelgti vien į tikimybę -matomai, klaidinga apskritai kreipti dėmesį į tikimybę (nebent tik ta prasme, kiek ji apsprendžia mūsų EV).
Reziume:
Hadrian oponuoja tam, ko, bent jau aš, nesu niekada teigęs ir niekada nesu girdėjęs, kad kas nors kitas būtų teigęs - kad TIK nuo įvykio tikimybės priklauso pasirinkimas mažų tikimybių atveju. Aš teigiu, kad jei rinktis gali tik 1 kartą, sėmės tikimybė, o ne EV, yra pagrindinis faktorius, nulemiantis pasirinkimą. Kalbant konkrečiai apie realius (o ne teorinius) rinkimus - 1 balsas beveik visais atvejais iš beveik begalybės neturės absoliučiai jokios įtakos (nors teoriškai įmanoma, kad turėtų), todėl balsuoti rinkimuose visada yra iracionalu.
Ir netgi pats Hadrian įrodė, kad EV indėlis lyginant su sėkmės tikimybės indėliu priimant sprendimą yra labai nedidelis (jis pirktų bilietą su EV=1000 tik tada, jei jis kainuotų 100Lt; aš pvz. nepirkčiau jo net ir už 1Lt, nes pirkimo rezultatas 99'999 atvejais iš 100'000 yra toks pats, kaip 1Lt išmetimas per langą, t.y. vertinant mano pomėgį rizikuoti pirkimas man nevertas piniginės atsegimo vargo), nepaisant to, už kelių minučių rašo lygiai atvirkščiai.
Kas liečia daugumą rinkėjų - jie yra kokybiškai indoktrinuoti, todėl nevertina nei savo laisvo laiko kainos (kuri dirbančiam >40h per savaitę + kelionė į darbą / iš darbo net nepanaši į nulį); nei tikimybės, kad jų balsas padarys įtaką; nei asmeninės naudos dydžio, kuris galėtų būti, jei atsitiktų praktiškai neįmanomas įvykis ir jų balsas įtaką rinkimuose padarytų; apie rinkėjų gebėjimą vertinti moralinius politikos aspektus net nekalbu. Bet tai niekaip nereiškia, kad "dalyvavimo rinkimuose kaina, daugumos rinkėjų atveju, santykinai maža (dažnam artima nuliui)", statistinis rinkėjas tiesiog yra nemąstantis lemingas, einantis balsuoti, nes tokia yra doro piliečio pareiga, t.y. pagrindinė varomoji jėga yra ne racionalios išvados, o sėkmingai suveikęs false argument from morality.
Išsamiau - balsuoti rinkimuose visada iracionalu.
Kaip esu pažymėjęs, mano įrašas nėbuvo politinis ar psichologinis - grynai metodologinis. Atrodo [pagaliau] supratau mūsų su Giedrium nesutarimo esmę (all ideological bullshit aside), kurią galima performuluoti taip:
- tegul:
rengiama loterija, kurios bilietas kainuoja 1Lt; leidžiama pirkti tik vieną bilietą (arba atsisakyti pirkti apskritai); laimėtojas gauna 1mlrd Lt, o tikimybė laimėti yra 1:1mln
- tada:
(a) aš laikau, jog klausimas, ar tokį bilietą pirkčiau, yra grynai retorinis (EV = 1000Lt yra net x1000 didesnė už B = 1 Lt !!!); įraše paaiškinau kodėl tokio bilieto pirkimą (laikant, jog tai nepaveiks mano ar mano vaikų gerbūvio) laikau [vieninteliu] racionaliu sprendimu tokioje situacijoje
(b) giedrius racionaliu sprendimu laiko atsisakymą tokį bilietą pirkti - net mano įrašas (kurio esmė ir buvo padėti panašiai [iracionaliai] manantiems žmonėms suprasti savo klaidą) jo nuomonės nepakeitė
Skaitytojams palieku patiems spręsti, kuri pozicija yra racionali, o kuri ne.
O ar pirktum už litą bilietą jei suma 10 milijardų, o tikimybė 1/10'000'000? 100'000'000'000 ir 1/100'000'000?
VYTS, jei tave nuoširdžiai domina kaip ir kodėl mūsų intuityvus tikimybių vertinimas dažnai būna klaidingas, siūlyčiau paskaityti Nassim Nicholas Taleb knygą Fooled by Randomness
Ypatingai reti įvykiai (kai jų tikimybė yra beveik lygi nuliui, tačiau išlieka teigiama) vadinami "juodomis gulbėmis" (black swans)
Konkrečiai black swan'ams jis skiria savo kitą [klasika tapusią] knygą - The Black Swan
Skaitytojai jau apsisprendė apie racionalią poziciją. Neverta diskutuoti su emociškai prisirišusiais prie savo idėjų. Jie nebando išsiaiškinti tiesos, pažiūrėti į "problemą" iš kitos pusės... Tokie geriausiu atveju tik ieško argumentų pagrįsti savo nuomonę ir ignoruoja kitus argumentus, o dar blogiau - kartoja tuos pačius klaidingus argumentus...
Tokie žmonės, norėdami apginti savo poziciją, kai tik turi galimybę griebiasi cenzūros, motyvuodami, kad kitokia (ko jie neatskleidžia -argumentuota) nuomonė niekaip neprisideda prie diskusijos...
Tokie žmonės, neatsako į oponento iškeltus klausimus... Juo labiau - jie nepripažins klydę..
Ar verta su tokias diskutuoti? Čia jau kiekvienam spręsti individualiai :)
Mano nuomone - verta, bet tik vieną kartą gyvenime :)
Rašyti komentarą