Šiandien sveikiname mūsų konkurso nugalėtoją bei pateikiame teisingą uždavinio sprendimą. Savo ciklą užbaigsime kitą kartą - įrašu, skirtu žaidimų teorijos praktiniam pritaikymui. Žaidimai nėra vienintelis žaidimų teorijos taikinys: ji vis plačiau taikoma įvairiose praktinėse srityse, jų tarpe sporte, ekonomikoje, ir net etikoje. Pabandysime bent trumpai su tuo susipažinti.
Taigi, sveikiname Karolį, vienintelį teisingo atsakymo autorių - atsiuntusį ne tik teisingą atsakymą, bet ir labai išsamų uždavinio sprendimą - jam ir iškeliauja mūsų prizas - "Binions" kazino kortų kaladė. Labai dėkojame visiems, dalyvavusiems konkurse, įdomu būtų sužinosi ar panašių konkursų norėtumėte ir ateityje (galite parašyti savo atsiliepimus komentare arba į mano elektroninį paštą).
Uždavinio sprendimas
Kai kurie iš jūsų teisingai pastebėjote, jog turime reikalą su labai supaprastinto pokerio variantu: vietoj monetos metimo, kiekvienam žaidėjui išdalinama po vieną kortą (iš 8 galimų: A arba K); tada žaidėjas A gali žiūrėti (check) arba didinti puodą (bet) - žaidėjas B (jei A bet) gali atsakyti tuo pačiu (call) arba pasiduoti (fold) - turėsime visiškai analogišką žaidimą mūsiškiam, įvardintą pokerio simboliais (kuriuos toliau ir naudosime).
Užrašykime galimas žaidėjų kortas ir jų veiksmus į lentelę (susikirtimo langeliuose įrašydami žaidėjo A išlošimo vertę - žaidėjo B vertė bus priešinga):
Iš lentelės nesunku matyti, jog A žaidėjui, turint A, visada naudingiau pasirinkti bet (2a eilutė kiekvienu atveju jam pranašesnė už 1ą); analogiškai, žaidėjui B, gavus A, reikia visada daryti call (jam 1as stulpelis visais atvejais pranašesnis už 2ą). Tokiu būdu, gavę A abu žaidėjai turi visiškai fiksuotas strategijas ir vienareikšmiškai žino ką daryti.
Kadangi K yra "blogsnė" korta ir mes nieko nelaimime, net jei priešininkas turi K (o pralaimime dar daugiau, jam turint A), didžioji dalis sprendėjų pamanė, jog gavę K, A žaidėjas turi visada check, tuo tarpu B žaidėjas - visada fold. Tokiu būdu žaidimas baigtųsi lygiosiomis - deja šis atsakymas nėra teisingas.
Jeigu B visada call su A, ir visada fold su K, A paprasčiausiai visada darys bet (su A ir su K) - ko pasekoje vidutiniškai laimės $50 per keturis ciklus (AA, AK, KA, KK). Tačiau žaidėjui A visada darant bet, žaidėjas B gali visada daryti call - ko pasekoje žaidimas vėlgi baigtųsi lygiosiomis. Kitais žodžiais tariant, žaidimo baigtį apsprendžia žaidėjų veiksmai, jiems gavus K:
Jei žaidėjai žinotų, kokią strategiją taikys (kiekviename rounde) oponentas - A rinktųsi atoitinkamą + strategiją, tuo tarpu B =. Pastebėkime, jog žaidėjo B geriausia viltis yra tepasiekti lygiąsias.
Kadangi nei vienas iš žaidėjų nežino, ką darys, gavęs K, jo oponentas, nenorėdami išsiduoti patys, jie turi taikyti abi strategijas randomizuodami jų pasirinkimą. Žaidėjas A, siekdamas pergalės, turi taikyti mišrią strategiją (kai gauna K): kažkada bet, kažkada check - teisingai atsakydamas į tai, žaidėjas B taip pat turi taikyti mišrią strategiją. A žaidėjo pasirinkimą daryti bet 50% atvejų ir check - kitus 50% - trumpindami, vadinkime 50% bet strategija. Analogiškai, 50% call ir 50% fold žaidėjo B strategiją vadinkime tiesiog 50% call strategija.
Abiem žaidėjams turime ieškosime strategijos, garantuojančios geriausią rezultatą - nepriklausomai nuo oponento veiksmų. Pasirodo, jei A taikys 50% bet strategiją, jis garantuotai laimės $25 per ciklą (jei B teisingai pasirinks 50% call strategiją), Jeigu B nuspręstų "gudrauti" ir taikytų 60%, 70% ar 40%, etc strategijas - žaidėjo A laimėjimai nuo to tik padidėtų (jam nepriklausomai taikant savo pasirinktą 50% bet strategiją). Savo ruožtu žaidėjui B fiksuotai taikant 50% call strategiją, žaidėjas A negali laimėti daugiau nei $25 per ciklą. Kitais žodžiais tariant: žaidėjui A fiksavus savo strategiją ties 50% bet - jis užsitikrina sau $25 laimėjimą per ciklą (kas įrodo, jog nepriklausomai nuo B veiksmų, A gali užsitikrinti šią sumą, t.y. jo laimėtina suma yra ne mažesnė nei $25 per ciklą).
Savo ruožtu žaidėjui B tiesiog taikant savo 50% call strategiją, jis garantuoja, jog žaidėjas A niekaip nelaimės daugiau (kažkurie iš jūsų teigėte, jog A gali tikėtis laimėti $50 per ciklą - lengva pastebėti, kodėl tai neįmanoma - žaidėjui B tereikia taikyti 50% call strategiją). Kadangi nei žaidėjas B negali sumažinti A laimimos sumos ($25 per ciklą), nei žaidėjas A - jos padidinti - abiem žaidėjams žaidžiant optimaliai A vidutiniškai laimės būtent $25 (per ciklą), t.y. $6.25 per 1 žaidimą -arba iš viso $6.25M.
Taigi, sveikiname Karolį, vienintelį teisingo atsakymo autorių - atsiuntusį ne tik teisingą atsakymą, bet ir labai išsamų uždavinio sprendimą - jam ir iškeliauja mūsų prizas - "Binions" kazino kortų kaladė. Labai dėkojame visiems, dalyvavusiems konkurse, įdomu būtų sužinosi ar panašių konkursų norėtumėte ir ateityje (galite parašyti savo atsiliepimus komentare arba į mano elektroninį paštą).
Uždavinio sprendimas
Kai kurie iš jūsų teisingai pastebėjote, jog turime reikalą su labai supaprastinto pokerio variantu: vietoj monetos metimo, kiekvienam žaidėjui išdalinama po vieną kortą (iš 8 galimų: A arba K); tada žaidėjas A gali žiūrėti (check) arba didinti puodą (bet) - žaidėjas B (jei A bet) gali atsakyti tuo pačiu (call) arba pasiduoti (fold) - turėsime visiškai analogišką žaidimą mūsiškiam, įvardintą pokerio simboliais (kuriuos toliau ir naudosime).
Užrašykime galimas žaidėjų kortas ir jų veiksmus į lentelę (susikirtimo langeliuose įrašydami žaidėjo A išlošimo vertę - žaidėjo B vertė bus priešinga):
Iš lentelės nesunku matyti, jog A žaidėjui, turint A, visada naudingiau pasirinkti bet (2a eilutė kiekvienu atveju jam pranašesnė už 1ą); analogiškai, žaidėjui B, gavus A, reikia visada daryti call (jam 1as stulpelis visais atvejais pranašesnis už 2ą). Tokiu būdu, gavę A abu žaidėjai turi visiškai fiksuotas strategijas ir vienareikšmiškai žino ką daryti.
Kadangi K yra "blogsnė" korta ir mes nieko nelaimime, net jei priešininkas turi K (o pralaimime dar daugiau, jam turint A), didžioji dalis sprendėjų pamanė, jog gavę K, A žaidėjas turi visada check, tuo tarpu B žaidėjas - visada fold. Tokiu būdu žaidimas baigtųsi lygiosiomis - deja šis atsakymas nėra teisingas.
Jeigu B visada call su A, ir visada fold su K, A paprasčiausiai visada darys bet (su A ir su K) - ko pasekoje vidutiniškai laimės $50 per keturis ciklus (AA, AK, KA, KK). Tačiau žaidėjui A visada darant bet, žaidėjas B gali visada daryti call - ko pasekoje žaidimas vėlgi baigtųsi lygiosiomis. Kitais žodžiais tariant, žaidimo baigtį apsprendžia žaidėjų veiksmai, jiems gavus K:
Jei žaidėjai žinotų, kokią strategiją taikys (kiekviename rounde) oponentas - A rinktųsi atoitinkamą + strategiją, tuo tarpu B =. Pastebėkime, jog žaidėjo B geriausia viltis yra tepasiekti lygiąsias.
Kadangi nei vienas iš žaidėjų nežino, ką darys, gavęs K, jo oponentas, nenorėdami išsiduoti patys, jie turi taikyti abi strategijas randomizuodami jų pasirinkimą. Žaidėjas A, siekdamas pergalės, turi taikyti mišrią strategiją (kai gauna K): kažkada bet, kažkada check - teisingai atsakydamas į tai, žaidėjas B taip pat turi taikyti mišrią strategiją. A žaidėjo pasirinkimą daryti bet 50% atvejų ir check - kitus 50% - trumpindami, vadinkime 50% bet strategija. Analogiškai, 50% call ir 50% fold žaidėjo B strategiją vadinkime tiesiog 50% call strategija.
Abiem žaidėjams turime ieškosime strategijos, garantuojančios geriausią rezultatą - nepriklausomai nuo oponento veiksmų. Pasirodo, jei A taikys 50% bet strategiją, jis garantuotai laimės $25 per ciklą (jei B teisingai pasirinks 50% call strategiją), Jeigu B nuspręstų "gudrauti" ir taikytų 60%, 70% ar 40%, etc strategijas - žaidėjo A laimėjimai nuo to tik padidėtų (jam nepriklausomai taikant savo pasirinktą 50% bet strategiją). Savo ruožtu žaidėjui B fiksuotai taikant 50% call strategiją, žaidėjas A negali laimėti daugiau nei $25 per ciklą. Kitais žodžiais tariant: žaidėjui A fiksavus savo strategiją ties 50% bet - jis užsitikrina sau $25 laimėjimą per ciklą (kas įrodo, jog nepriklausomai nuo B veiksmų, A gali užsitikrinti šią sumą, t.y. jo laimėtina suma yra ne mažesnė nei $25 per ciklą).
Savo ruožtu žaidėjui B tiesiog taikant savo 50% call strategiją, jis garantuoja, jog žaidėjas A niekaip nelaimės daugiau (kažkurie iš jūsų teigėte, jog A gali tikėtis laimėti $50 per ciklą - lengva pastebėti, kodėl tai neįmanoma - žaidėjui B tereikia taikyti 50% call strategiją). Kadangi nei žaidėjas B negali sumažinti A laimimos sumos ($25 per ciklą), nei žaidėjas A - jos padidinti - abiem žaidėjams žaidžiant optimaliai A vidutiniškai laimės būtent $25 (per ciklą), t.y. $6.25 per 1 žaidimą -arba iš viso $6.25M.
0 komentarai (-ų):
Rašyti komentarą